Jörg Bewersdorff's Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur PDF

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3658022612

ISBN-13: 9783658022617

ISBN-10: 3658022620

ISBN-13: 9783658022624

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Bevor wir zum casus irreducibilis zurückkehren, wollen wir die zuletzt gesammelten Erkenntnisse auf die Gleichung x3 −1 = 0 anwenden. Im Bereich der reellen Zahlen ist offensichtlich x1 = 1 die einzige Lösung der Gleichung. Für den Bereich der komplexen Zahlen folgt aus der Moivre’schen Formel, dass die Gleichung noch zwei weitere Lösungen haben muss: Beide liegen, wie in Bild 7 dargestellt, auf dem Einheitskreis und bilden zur positiven Halbachse einen Winkel von 2π/3 beziehungsweise 4π/3, so dass insgesamt ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Dieser hatte für einige Gleichungen der Form x3 + bx = ax2 + c drei Lösungen gefunden und bemerkt, dass die Summe der Lösungen jeweils mit dem Koeffizienten a des quadratischen Terms übereinstimmen24. Eine Erklärung für diese Tatsache dürfte für Cardano allerdings schwierig gewesen sein, da dies letztlich den Gebrauch von negativen Zahlen voraussetzt, um die Gleichung in eine Form zu bringen, bei der auf der rechten Gleichungsseite nur die Null steht. (x – xn) zerlegt werden kann. Liegt eine solche Zerlegung in so genannte Linearfaktoren vor, sind offensichtlich alle Lösungen bekannt.

Und bei einer solchen Wahl 38 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften wird zugleich das vermeintlich in z0 erreichte Minimum nochmals unterboten: | f (z1)| < | b0| = | f (z0)|. Der Widerspruch löst sich erst auf, wenn die Annahme b0 ≠ 0 aufgegeben wird. Es bleibt noch anzumerken, dass die schönsten und kürzesten Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra auf grundlegenden Sätzen der so genannten Funktionentheorie, wie die Infinitesimalrechnung für den Bereich der komplexen Zahlen bezeichnet wird, beruhen.

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Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by Ronald
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