Algebra II by Marc A. Nieper-Wißkirchen PDF

By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Dann ist die lim φi lim ψi → − → − i∈I i∈I induzierte Sequenz lim Mi −−−→ lim Ni −−−→ lim Pi exakt. 4 Tensorprodukte und gerichtete Limiten Seien A ein Ring und I eine gerichtete Menge. Sei N ein A-Modul. Sei weiter M• = (Mi , µij ) ein gerichtetes System von A-Moduln über I. 13. Zusammen mit den Abbildungen µij ⊗ idN : Mi ⊗ N → Mj ⊗ N für alle i ≤ j wird M• ⊗ N = (Mi ⊗ N ) zu einem gerichteten System über I. Seien µi : Mi → M := lim Mi und ιi : Mi ⊗ N → P := lim(Mi ⊗ N ) die Strukturhomo−→ −→ i∈I i∈I morphismen für i ∈ I.

Ist M → − M − → M exakt bei M , so ist auch S −1 M −−−→ S −1 M −−−→ S −1 M exakt. Beweis. 1. Wegen ψ ◦ φ = 0 ist auch (S −1 ψ) ◦ (S −1 φ) = S −1 0 = 0, also im S −1 φ ⊂ −1 ker S ψ. 2. Sei ms ∈ ker S −1 ψ, also tψ(m) = 0 ∈ M . ψ(m) s = 0 ∈ S −1 M . Damit existiert ein t ∈ S mit ψ(tm) = 3. Damit existiert ein m ∈ M mit φ(m ) = tm. Es folgt, daß (S −1 φ)( mst ). 28. Sei A ein kommutativer Ring. Sei S multiplikativ abgeschlossen. Sei M ein Untermodul eines A-Moduls M . Da die Lokalisierung exakt ist, ist die Lokalisierung S −1 M → S −1 M der Inklusion M → M wieder injektiv.

Bn von B existieren, so daß jedes Element von B als Polynom in den bi mit ganzzahligen Koeffizienten geschrieben werden kann. 1 Definition des Tensorproduktes zweier Algebren Sei A ein kommutativer Ring, und seien B und C zwei kommutative A-Algebren. Da B und C insbesondere A-Moduln sind, können wir den A-Modul D := B A ⊗A C A betrachten. Die Abbildung B × C × B × C → D, (b, c, b , c ) → bb ⊗ cc ist A-linear in jedem Faktor, so daß sie einen Homomorphismus B⊗C ⊗B⊗C → D, b⊗c⊗b ⊗c → bb ⊗cc von A-Moduln induziert.

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Algebra II by Marc A. Nieper-Wißkirchen


by George
4.0

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